Tagli, ritagli e frattali

Un cespo di brassica romanescoC'è qualcosa che lega la struttura dei nostri polmoni all'andamento di un titolo quotato in borsa?

La risposta è positiva, ed è legata ai frattali (dal latino fractus, interrotto), modelli matematici adatti a descrivere fenomeni naturali come i fulmini, i fiocchi di neve, e le aritmie cardiache. La caratteristica comune a questi "oggetti" così diversi tra loro è la conservazione della loro struttura a scale differenti (si dice che sono autosomiglianti). I polmoni sono "costruiti" con diramazioni successive (bronchi e bronchioli) che riproducono la stessa configurazione a dimensioni sempre più piccole (vedi immagine); d'altro canto, se guardiamo grafici differenti dell'andamento della quotazione di un titolo non siamo in grado di dire se si tratta della quotazione giornaliera, quella settimanale o mensile (vedi immagine, i trend sono sovrapposti). Quindi a qualunque scala osserviamo questi oggetti ci si presenta una struttura simile: questa proprietà è definita, in termini tecnici, invarianza di scala e compare, inaspettatamente, in sempre più strutture naturali - ad esempio, le coste della Gran Bretagna e il cavolfiore hanno in comune questa proprietà.

La natura e il nostro mondo sono frattali e la geometria usata nella vita di tutti i giorni è inadatta a descrivere tutta la complessità degli oggetti reali: con le parole del fondatore della teoria frattale della natura, Benoit Mandelbrot (1), "le montagne non sono coni e le nuvole non sono sfere". A differenza delle strutture simmetriche, quelle frattali sono più tolleranti con gli errori di riproduzione e ne limitano gli effetti. I frattali, inoltre, riescono a descrivere più facilmente "comportamenti" complessi associati ai fenomeni naturali, siano essi chimici, biologici o umani. Riferendoci ancora al caso dei polmoni, abbiamo due meccanismi che agiscono contemporaneamente: determinismo a livello globale (il diametro medio dei rami dei bronchioli decresce secondo una legge esponenziale) e casualità a livello locale (i diametri singolarmente considerati). Questo doppio meccanismo si adatta, ad esempio, anche alle piene periodiche dei fiumi e alla propagazione dell'influenza stagionale.

Anche il mercato azionario sembra prestarsi a questa doppia azione. A questo scopo è stata introdotta una teoria di analisi dei dati economici che tiene conto del punto di vista frattale, la Fractal Market Hypothesis (2). I mercati, secondo questa teoria, hanno una struttura frattale e il modello matematico elaborato ne permette lo studio con un elevato grado di affidabilità e in grado di descrivere i movimenti dei prezzi in modo più aderente alle osservazioni empiriche. Le distribuzioni dei rendimenti calcolati su differenti orizzonti temporali (orari, giornalieri, mensili, ecc.) condividerebbero le stesse proprietà statistiche: il rischio ha quindi una natura comune per tutti gli investitori, una volta corretto per un fattore di scala legato all'orizzonte temporale d'investimento. È proprio in quest'autosomiglianza temporale che risiede la natura frattale del mercato. Nel momento in cui questa natura viene compromessa, i mercati diventano instabili. Ciò può verificarsi quando gli investitori di lungo periodo diventano essi stessi investitori di breve periodo, per esempio in reazione a eventi economici o politici di natura tale da relegare momentaneamente in secondo piano il quadro fondamentale di riferimento.

Qualcuno avrà visto la rappresentazione grafica, magari senza conoscerne il nome, dell'insieme di Mandelbrot (foto a lato): anche questo oggetto è un frattale. Se ne ingrandiamo i bordi vediamo che si ripresentano strutture analoghe ad ingrandimenti crescenti. Questo oggetto ha una superficie limitata ma perimetro infinito: per dirla semplicisticamente, possiamo verniciarlo ma non avremo mai abbastanza matite per disegnarne il bordo. I frattali ben si prestano ad elaborazioni grafiche che ne fanno gli oggetti più belli della matematica (3).

A proposito, misurando le coste della Gran Bretagna si è scoperto che tendono all'infinito, ma questa è un'altra storia...

(1) Un documento, probabilmente l'ultima intervista del matematico per il sito TED.com (Ideas worth spreading) 
(2) Un'introduzione all'argomento con un'applicazione alla borsa italiana 
(3) Un insieme (di tanti che è possibile trovare in internet) di "istantanee" di frattali

Per chi vuole approfondire l'aspetto grafico dei frattali è scaricabile un programma che permette di "esplorarli"